<T->
          Matemtica e realidade
          9 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Stima Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4442
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1069-4
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                               I
<F->
Sumrio

Stima Parte

Unidade 7 -- Funes
Captulo 24- Funes 
  representadas por 
  retas ::::::::::::::::::: 725
Funo constante ::::::::: 726
Funo do 1 grau ::::::: 732
Significado dos 
  coeficientes :::::::::::: 742
Funo crescente e funo 
  decrescente ::::::::::::: 749
Proporcionalidade :::::::: 762
Captulo 25- Funes do 
  2 grau :::::::::::::::: 786
Frmula e grfico da 
  funo do 2 grau :::::: 786
Funo quadrtica :::::::: 797
Captulo 26- 
  Inequaes ::::::::::::: 832
Revendo inequaes do 1 
  grau :::::::::::::::::::: 832
Inequaes do 2 grau ::: 837
<F+>
<p>
<262>
<T mat. realidade 9>
<t+725> 
<F->
Unidade 7 -- Funes

Captulos:
24- Funes 
  representadas por retas 
25- Funes do 2 grau
26- Inequaes
<F+>

 Captulo 24- Funes 
  representadas por retas 

A velocidade do nibus 

  Em uma viagem de nibus, comeamos a marcar o tempo assim que ele chegou  rodovia, quando atingiu a velocidade de 90 km/h. 
  Em diversos instantes, anotamos a velocidade marcada no painel. 
  Veja na tabela a seguir o que conseguimos anotar. 
<p>
 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l Tempo           _ Velocidade_
 l decorrido t `(h`)  _ v `(km/h`)  _
 r::::::::::::::::::w::::::::::::w
 l 0               _ 90        _
 l 0,25            _ 90        _
 l 0,5             _ 90        _
 l 0,75            _ 90        _
 l 1               _ 90        _
 l 1,25            _ 90        _
 l 1,5             _ 90        _
 l 1,75            _ 90        _
 l 2               _ 90        _
 h::::::::::::::::::j::::::::::::j

Funo constante 

  Na situao proposta, a cada instante corresponde um nico valor para a velocidade. Ento, a velocidade  funo do tempo decorrido na viagem. O grfico 
 _`[no representado_`] dessa funo contm os pontos indicados na tabela. 
<p>
  Se nos intervalos entre os instantes marcados o nibus viajava 
tambm a 90 km/h, o grfico 
 _`[no representado_`] fica assim. 
<263>
  Ento o nibus fez a viagem  velocidade constante de 90 km/h. Esse  um exemplo de funo constante, definida no intervalo de tempo em que durou a viagem. 

  Uma funo em que para todo nmero real *x* corresponde um nmero *c*  chamada funo constante. A frmula da funo constante  y=c ou f`(x`)=c. 

  Vejamos outros exemplos de funo constante: 
  Funo definida por y=3 ou 
 f`(x`)=3. 
  Nesse exemplo, tomamos c=3. Para todo *x* real, o valor da funo  3. 
  Vamos construir o grfico _`[no representado_`]. 
<p>
 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l x _ y=f`(x`) _ Ponto do grfico _
 r:::w::::::::w:::::::::::::::::::w
 l 0_ 3     _ `(0,#c`)           _
 l 1_ 3     _ `(1,#c`)           _
 l 2_ 3     _ `(2,#c`)           _
 l 3_ 3     _ `(3,#c`)           _
 l-1_ 3     _ `(-1,#c`)          _
 h:::j::::::::j:::::::::::::::::::j
<F->
<F->

  A tabela nos fornece alguns pontos do grfico. Como *x* pode ser qualquer nmero real, e *y*  sempre 3, o grfico  uma reta paralela ao eixo das abscissas, passando por todos os pontos de ordenada 3. 

  O grfico de uma funo constante  uma reta paralela ao eixo das abscissas. 

  Funo definida por y=-#,b ou f`(x`)=-#,b.
<p>
  Nesse exemplo, tomamos c=-#,b. Para todo *x* real, o valor da funo  -#,b.
  O grfico _`[no representado_`]  a reta que contm os pontos de ordenada -#,b.  

!::::::::::::::
l  x  _  y=f`(x`) _
r:::::w:::::::::w
l -2 _ -#,b    _
l -1 _ -#,b    _
l -#,b_ -#,b    _
l  0 _ -#,b    _
l -#,c_ -#,b    _
l  1 _ -#,b    _
l  2 _ -#,b    _
h:::::j:::::::::j
<264>

  Observe o grfico do valor do salrio mnimo no Brasil no perodo de abril a dezembro/2008. Para mont-lo, marcamos o ms no eixo das abscissas e o salrio em reais no eixo das ordenadas. 
<p>

<F->   
       l 
`(R$`)  l 
415,00pcmcmcmcmcmcmcmcmcm
       l k k k k k k k k k
       l k k k k k k k k k
       l k k k k k k k k k
       l k k k k k k k k k
cccccccpcccccccccccccccccccccccc
       l a m j j a s o n d     x
                           `(ms`)
<F+>

  Conforme se observa, nesse perodo, o salrio mnimo foi constante, sempre igual a R$415,00. 
  Vejamos agora outro tipo de funo. 

A conta do telefone 

  A conta mensal de uma linha telefnica do tipo econmica (que s faz ligaes para telefone fixo local)  composta de duas partes: uma taxa fixa de R$30,00, chamada assinatura, e mais uma parte varivel, que  de R$0,25 por minuto de ligao. 
<p>
  Como saber quanto dever ser pago no final do ms se o valor depende do tempo de uso do telefone? 
  Para *x* minutos de ligao, paga-se `(0,25.x`) reais mais a taxa fixa de R$30,00. O valor *y*, a pagar em reais,  dado por: 
 y=0,25x+30 
  O valor da conta, *y*,  funo do tempo gasto em ligaes, *x*. Veja a tabela com alguns valores possveis para a conta, e no grfico _`[no representado_`] a representao dos pares da tabela. 

<R+>
_`[{tabela adaptada em duas colunas, contedo a seguir_`]
<F->
<R+>
1 Coluna: Tempo de ligaes efetuadas `(min`);
2 Coluna: Valor da conta (em reais).
<R->
<F+>
<p> 
 !:::::::::::::::::::
 l 1 _ 2          _
 r:::::w::::::::::::::w
 l x   _ y=0,25x+30 _
 l 0  _ 30,00       _
 l 10 _ 32,50       _
 l 20 _ 35,00       _
 l 30 _ 37,50       _
 l 40 _ 40,00       _
 l 50 _ 42,50       _
 l 60 _ 45,00       _
 h:::::j::::::::::::::j
<265>

Funo do 1 grau 

  Note que os pontos do grfico _`[no representado_`] so alinhados (podemos traar uma reta passando por eles). Se acrescentarmos mais pontos ao grfico, escolhendo outros valores para *x*, obteremos sempre pontos alinhados com os anteriores: 
<p>
 !::::::::::::::
 l x    _  y     _
 r::::::w::::::::w
 l 6   _ 31,50 _
 l 12  _ 33,00 _
 l 14  _ 33,50 _
 l 28  _ 37,00 _
 l 36  _ 39,00 _
 l 44  _ 41,00 _
 l 58  _ 44,50 _
 h::::::j::::::::j

  Como *x* pode ser qualquer nmero positivo ou nulo, o grfico  uma linha contnua:  parte de uma reta. 
  No problema proposto, a conta do telefone  uma funo definida por uma frmula do tipo y=ax+b, em que *a* e *b* so nmeros reais conhecidos (no caso, a=0,25 e b=30), sendo a=0. Funes assim so denominadas funes do 1 grau. 

  Uma funo definida para todo *x* real por uma frmula do tipo y=ax+b, em que *a* e *b* so nmeros reais conhecidos e a=0,  denominada funo do 1 grau. 

  O grfico de uma funo do 1 grau  uma reta. 

  Vamos ver outros exemplos de funes do 1 grau: 
  Funo definida por y=2x+1 ou f`(x`)=2x+1, em que a=2 e b=1. 
  Vamos construir o grfico da funo, que  uma reta. Basta marcar alguns pontos (dois j so suficientes) e traar a reta que passa por eles. 

<R+>
_`[{tabela adaptada em trs colunas, contedo a seguir_`]
<R->

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::
l x _ y=2x+1       _ Ponto   _
r:::w::::::::::::::::w::::::::::w
l 0_y=2.0+1=1   _ `(0,#a`)  _
l 1_y=2.1+1=3   _ 1,#c  _ 
l 2_y=2.2+1=5   _ 2,#e  _
l-1_y=2-1+1=-1_ -1,-#a_
h:::j::::::::::::::::j::::::::::j
<F+>
<p> 
  Funo definida por y=-x+2 ou f`(x`)=-x+2, em que a=-1 e b=2. 
  Veja o grfico da funo _`[no representado_`]. 

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::
l x _ y=-x+2       _ Ponto   _
r:::w:::::::::::::::w::::::::::w
l 0_ y=-0+2=2   _ `(0,#b`)  _
l 1_ y=-1+2=1   _ 1,#a  _ 
h:::j:::::::::::::::j::::::::::j
<F+>

<266>
  Funo definida por f`(x`)=x~4, em que a=#,d e b=0. 
  Veja o grfico da funo _`[no representado_`]. 

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::
l x _ y=x~4       _ Ponto   _
r:::w:::::::::::::::w::::::::::w
l 0_ y=-0~4=0  _ `(0,#j`)  _
l 4_ y=4~4=1   _ 4,#a  _ 
h:::j:::::::::::::::j::::::::::j
<F+>
<266>
<p>
Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios 29 a 34, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
<F->
29. D um exemplo de funo constante e faa seu grfico.  

30. Faamos corresponder a cada nmero positivo *x* um tringulo equiltero de lado *x*. Representemos por *y* a soma das 
  medidas em graus dos ngulos do tringulo. 
a) *y*  funo de *x*? Por qu?  
b) Qual  a frmula da funo?  
c) Represente essa funo em um grfico. 

31. No retngulo {a{b{c{d _`[no representado_`], marcamos o ponto P, em ^c?{a{b*, a *x* centmetros de A. A cada *x*, 
  0<=x <=10, corresponde uma rea colorida f`(x`), soma das reas dos tringulos {a{d{p e 
<p>
  {b{c{p. Determine a frmula dessa funo e faa seu grfico. 
<F+>
<R->

<F->
  D          C
  !::::::::::::
  l          _ 
  l          _
  l          _
  l          _ 8 cm
  l          _
  l          _
  h::::::::::::j
  A x P     B
  <::::::::::::>
      10 cm

<R+>
32. Um carro est viajando  velocidade constante de 100 km/h. 
a) Copie a tabela no caderno e complete-a: 
<R->
<p>
  !:::::::::::::::::::::::::
  l Tempo     _ Distncia  _
  l decorrido  _ percorrida  _
  l `(h`)        _ `(km`)        _ 
  r::::::::::::w:::::::::::::w
  l 1         _ '''         _
  l 2         _ '''         _
  l 3         _ '''         _
  l 3,5       _ '''         _
  l 4         _ '''         _
  h::::::::::::j:::::::::::::j

<R+>
<F->
b) Quantos quilmetros `(y`) ele percorre em *x* horas? 
c) Faa o grfico dessa funo. 

33. Um caminho pipa est cheio com 6.000 L de gua. Para esvazi-lo, abrimos uma vlvula 
  por onde saem 100 L de gua por minuto. 
a) Quantos litros de gua `(y`) restam no tanque do caminho *x* minutos depois que abrimos a vlvula? 
<p>
b) Faa uma tabela de pares `(x,y`) escolhendo valores para *x* e calculando *y*. 
c) Faa o grfico da funo. 
<267>

34. Faa o grfico de cada funo definida para todo *x* real. 
a) f`(x`)=3x-2 
b) f`(x`)=-2x+3 
c) f`(x`)=2 
 
35. Dada a funo f`(x`)=-4x+20:  
a) calcule o valor de f`(11~2`); 
b) calcule o valor de *x* para o qual se tem f`(x`)=0.  

36. Na confeco de certo produto, a fbrica MGO Ltda. tem 
  um custo fixo de R$100.000,00 
  mais R$50,00 por unidade produzida. 
a) Qual  a frmula do custo *y* (em reais) para produzir *x* unidades?  
b) Qual  o custo para produzir 10.000 unidades? 
<p>
c) Se na venda de 10.000 unidades a MGO deseja ter um lucro de R$500.000,00, qual deve ser o preo de venda de cada unidade?  

37. Slvio  vendedor e seu salrio  composto de um fixo de R$600,00 e comisso de 0,5% sobre sua venda total. 
a) Sendo *x* o total da venda no ms, em reais, qual  o valor *y* do salrio mensal? 
b) Qual  o salrio de Slvio em um ms em que ele no vender nada? 
<F+>
<R->
 
Telefone sem uso 

  Voltando ao problema da conta de telefone: de quanto ser a conta num ms em que nenhuma ligao for efetuada? Ser de R$30,00, que  a taxa fixa. 
  Na frmula y=0,25x+30, para o clculo da conta de telefone, para x=0, obtemos y=30. Construmos 
<p>
o grfico partindo do ponto de coordenadas `(0,#cj`). 

<F->
  y`(R$`)_    
        _   
        _  
        _  
        _
     30o ponto `(0,#cj`)
        _
        _
        _
        _
::::::::w:::::::::::::::::::o
      0_              x`(min`)
<f+>
 
y=0,25x+30 
  Temos: 
<R+>
 30  o valor da funo para x=0; 
 o grfico da funo "parte" do ponto `(0,#cj`). 
<R->
<268>
<p>
Significado dos coeficientes 

O coeficiente *b* 

  Em y=ax+b, para x=0 obtemos y=b. Isso significa que *b*  o valor da funo, correspondente a x=0. 
  O grfico da funo passa no ponto de coordenadas `(0,b`). Podemos dizer que o grfico corta o eixo dos *y* no ponto de ordenada *b*. 

<F->
  y_
   _
  bo ponto `(0,b`)
   _
   _
   _
   _
:::w::::::::::::::::o
 0_                x
<f+>

  Funo do 1 grau: y=ax+b. 
  Temos: 
<R+>
 *b*  o valor da funo para x=0; 
 o grfico corta o eixo *y* no ponto `(0,b`). 
<R->

  Na funo y=ax+b, *b*  o valor de *y* correspondente a x=0. 
  
  Na funo y=ax+b, *b*  a ordenada do ponto em que o grfico corta o eixo *y*. 

O coeficiente *a* 

  Voltemos novamente  situao da conta de telefone. 

<R+>
_`[{um menino pergunta: "Em quanto vai ficar a conta se for efetuada apenas uma ligao de 1 minuto?"_`]
<R->
 
  Em y=0,25x+30, para x=1 obtemos y=0,25+30=30,25. 
  Nesse caso, ser cobrada apenas a assinatura `(R$30,00`) mais R$0,25 correspondentes a 1 minuto de ligao. Portanto, o total da conta ser R$30,25. 
  E se tiver mais 1 minuto de ligao? 
  Ento sero somados mais R$0,25 na conta: 
 30,25+0,25=30,50 
  Em y=0,25x+30, para x=2 obtemos y=0,25.2+30=30,50, e assim por diante. 
  Logo, na funo y=0,25x+30, que descreve a conta de telefone na situao apresentada, temos: 
<R+>
 0,25  o acrscimo de *y*, quando *x* tem acrscimo de 1; 
 a taxa de variao da conta  de R$0,25 por minuto de ligao efetuada. 
<R->
<269>
  Em y=ax+b, para x=0 temos y=b; para x=1, y=b+a; para x=2, y=b+2a, e assim por diante. 
  Funo do 1 grau: y=ax+b. 
  Temos: 
<R+>
 *a*  o quanto fica adicionado a *y*, quando adicionamos 1 a *x*; 
 *a*  a taxa de variao da funo por unidade de variao de *x*. 
<R->
<p>
  Qualquer que seja o valor considerado para *x*, se for adicionado de 1, ento *y* ficar adicionado de *a*. Veja:
 y=ax+b
 *x* aumenta de 1 :> x=k :> y=ak+b 
  :> x=k+1 :> y=a`(k+1`)+b
 y=ak+a+b
 y=`(ak+b`)+a

  O coeficiente *a*  a taxa de variao da funo y=ax+b. Ele representa a quantidade de unidades que so adicionadas a *y* quando adicionamos 1 unidade a *x*, qualquer que seja *x*. 

  Vejamos outros exemplos do cotidiano: 

O preo do eletricista 

  Um eletricista cobra uma taxa de R$20,00 pela visita ao cliente e mais R$30,00 por hora trabalhada. 
<p>
  Como calcular o preo final a ser pago j que este depende do tempo de durao do servio? 
<270>
  Se o servio do eletricista durar *x* horas, vai custar `(30x`) reais mais os R$20,00 da taxa de visita. Assim, o preo *y* em reais a ser pago ao eletricista  dado por: 
 y=30x+20 

 !:::::::::::::::::::::::::
 l Horas de _ Preo       _
 l servio   _ (em reais) _
 r:::::::::::w::::::::::::::w
 l x         _ y=30x+20   _
 l 0        _ 20          _
 l 1        _ 50          _
 l 2        _ 80          _
 l 3        _ 110         _
 l 4        _ 140         _
 l 5        _ 170         _
 h:::::::::::j::::::::::::::j
 
  Observe: 
<R+>
y=30x+20 
 b=20 :> 20  o valor da funo correspondente a x=0. 
<p>
  R$20,00  o preo correspondente a 0 hora de servio ( a taxa cobrada pela visita). O grfico _`[no representado_`] parte do ponto `(0,#bj`). 
 a=30 :> Adicionando 1 a *x*, *y* fica adicionado a 30. A cada hora a mais de servio, o preo aumenta R$30,00. A taxa de variao do preo  R$30,00 por hora de servio. 
<R->

O volume de gua no caminho 

  Vamos considerar a situao do exerccio 33., em que um caminho pipa com 6.000 L de gua pode ser esvaziado por uma vlvula pela qual saem 100 L de gua por minuto. Assim, *x* minutos depois que abrimos a vlvula, restam no tanque do caminho *y* litros de gua, sendo y=6.000-100x.
<271>
<p>
  Vamos ver como o caminho vai esvaziando. 

 !:::::::::::::::::::::::::::
 l Tempo   _ Volume         _
 l `(min`)    _ restante `(L`)   _
 r::::::::::w:::::::::::::::::w
 l x        _ y=6.000-100x  _
 l 0       _ 6.000          _
 l 1       _ 5.900          _
 l 2       _ 5.800          _
 l 3       _ 5.700          _
 l 4       _ 5.600          _
 l 5       _ 5.500          _
 h::::::::::j:::::::::::::::::j

  Observe: 
<R+>
y=-100x+6.000 
 b=6.000 :> 6.000  o valor de *y* que corresponde a x=0. 6.000 L de gua esto no tanque no instante em que abrimos o tanque (minuto 0). O grfico _`[no representado_`] parte do ponto `(0,#f.jjj`). 
<R+>
<p>
 a=-100 :> Adicionando 1 a *x*, *y* fica adicionado a -100. A cada minuto que passa, o volume de gua diminui 100 
  litros. A taxa de variao do volume da gua  de -100 litros por minuto. 
<R->
 
Funo crescente e funo 
  decrescente 

  Dizemos que uma funo  crescente quando, aumentando os valores de *x*, em correspondncia aumentam os de *y*. Nesse caso, quanto maior for *x*, maior ser *y*. 
  Dizemos que uma funo  decrescente quando, aumentando *x*, *y* diminui. Nesse caso, quanto maior for *x*, menor ser *y*. 
<p>
  As funes do tipo y=ax+b, em que *a* e *b* so nmeros reais conhecidos, so representadas por 
retas. Conforme o valor de *a*, a funo pode ser crescente, decrescente ou constante. 
  Observe cada caso: 

 a >0

<F->
   y_
    _
 b+a_..o
    _ k
  bo k
    _  k
    _  k
::::w::::::::::::::::o
  0_  1            x
<F+>

  Funo crescente (aumentando *x*, *y* aumenta).   
<p>
a <0

<F->
   y_
    _
  bo
    _    
 b+a_..o
    _  k
    _  k
::::w::::::::::::::::o
  0_  1            x
<F+>

  Funo decrescente (aumentando *x*, *y* diminui).   
<p>
a=0

<F->
   y_
    _
    _    k
    _    k
   bo::o
    _    k
    _    k 
    _    k  
    _    k  
 :::w:::::::::::::::o
  0_    1         x
<F+>

  Funo constante `(y=b`).

<R+>
  A funo y=ax+b: 
 se a >0,  funo crescente; 
 se a <0,  funo decrescente; 
 se a=0,  funo constante. 
<R->
<270>

Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 38 a 47, pea orientao ao professor_`]

38. Uma caixa-d'gua com capacidade para 1.000 litros tem ape-
<p>
  nas 100 litros de gua. Abre-se, ento, uma torneira que comea a encher a caixa  razo de 20 litros por minuto. 
a) Se a torneira ficar aberta durante *x* minutos (sem encher totalmente a caixa), qual ser o volume *y* de gua na caixa?  
b) Qual  a taxa de variao do volume de gua?   
c) Quantos minutos so necessrios para que a torneira encha totalmente a caixa? 
d) Faa o grfico dessa funo. 

39. Uma caixa de 1 litro de leite, feita de papelo, tem a forma de um bloco retangular de 
  altura 25 cm. Quando tiramos uma xcara de leite da caixa, a altura do leite baixa 2 cm. 
a) Qual  a altura *y*, em centmetros, do leite que resta na 
<p>
  caixa depois que retiramos *x* xcaras?  
b) Faa o grfico de *y* em funo de *x*. 
c) Qual  a taxa de variao da altura do leite na caixa? 

40. Enquanto o eletricista no chegava para consertar um defeito na rede eltrica, dona 
  Ftima acendeu uma vela de 20 cm, que acesa, dura cerca de 
  1 h 40 min. 
a) Qual  a altura *h* da vela, em centmetros, depois de *t* minutos acesa? 
b) Qual  a taxa de variao da altura da vela? 

41. Para editar um livro, uma editora tem um custo de 
  R$4.000,00 mais R$5,00 por exemplar. 
a) Copie a tabela no caderno e complete-a: 
<F+>
<R->
<p>
  !::::::::::::::::::::::::
  l N.o de livros _ Custo _
  l editados       _ `(R$`)  _
  r::::::::::::::::w::::::::w
  l 500           _ '''    _
  l 1.000         _ '''    _
  l 1.500         _ '''    _
  l 2.000         _ '''    _
  l 2.500         _ '''    _
  h::::::::::::::::j::::::::j
 
<R+>
<F->
b) O custo *y*  funo do nmero de livros editados *x*. Qual  a frmula dessa funo?  
c) Represente graficamente essa funo. 
d) Qual  a taxa de variao do custo? 

42. Atenda ao que se pede em cada item: 
a) Represente numa mesma figura os grficos das funes a seguir: 
y=x-2, y=x, y=x+2, y=x+4
<p>
b) O que varia de uma frmula para outra?  
c) E de uma reta para outra?  

43. Atenda ao que  pedido: 
a) Represente numa mesma figura os grficos das funes a seguir: 
y=x~2, y=x, y=2x, y=-2x
b) O que varia de uma frmula para outra?  
c) E de uma reta para outra? 
<273>

44. Classifique cada funo em constante, crescente ou decrescente. Depois, esboce o grfico de cada uma. 
a) y=3x+2
b) y=6
c) y=-2x+1
d) y=6-3x 
e) y=-4+2x
f) y=1-5

45. Para encher o tanque de certo automvel so necessrios 52 
<p>
  litros de combustvel. O preo de cada litro  R$2,70. 
a) Quanto se paga para encher o tanque, estando ele vazio?  
b) Qual  a quantia *y* em reais a ser paga quando se colocam *x* litros do combustvel no tanque? 
c) Faa o grfico da funo do item b). 
d) Qual  a taxa de variao dessa funo? 

46. Uma caixa-d'gua tem base retangular de 2,5 m por 4 m e contm gua at a altura de 1,75 m. Para retirar gua da caixa, abrimos uma torneira que jorra 500 litros por hora. 
a) Qual  o volume V de gua na caixa, em m3, depois de *x* horas com a torneira aberta? 
b) Qual  a taxa de variao do volume de gua na caixa? 
c) Qual  a taxa de variao da altura da gua? 
<p>
d) Qual  a altura *h* da gua na caixa, em metros, depois de a torneira ter ficado por *x* horas aberta? 
e) Quanto tempo  necessrio deixar a torneira aberta para esvaziar a caixa? 

47. Para alugar um automvel, h duas locadoras na cidade. A locadora Alcar cobra R$0,60 por quilmetro rodado e mais nenhuma taxa. A locadora Belcar cobra R$40,00 de taxa fixa e mais R$0,20 para cada quilmetro rodado. Representando por A`(x`) e B`(x`) o custo em cada locadora para rodar *x* quilmetros: 
a) Determine as frmulas de 
  A`(x`) e B`(x`); 
b) Represente os grficos de 
  A`(x`) e B`(x`) na mesma figura; 
c) Analise para que valores de *x* uma locadora  mais vantajosa do que a outra para o consumidor. 
<F+>
<R->
<p>
Matemtica em notcia

  Observe os grficos a seguir e responda s questes. 
 
<F->
<R+>
_`[{grfico 1 de linhas "Servios tomam o lugar da indstria" adaptado na forma de tabela em cinco colunas, destacando a "Populao ocupada por setor de atividades, em %", contedo a seguir_`]
1 Coluna: Ano;
2 Coluna: Agricultura;
3 Coluna: Indstria de transformao;
4 Coluna: Comrcio;
5 Coluna: Servios.
1940; 3,41; 45,67; 16,42; 26,08.
1991; 0,70; 24,77; 14,90; 45,79.
2000; 0,25; 16,36; 16,21; 52,01.

(*Folha de S. Paulo*, 23/01/2005.)

_`[{grfico 2 de linhas "Projeo revista -- produo de veculos neste ano deve chegar a 3,425 milhes" adaptada na forma de tabela em duas colunas, destacando a "Evoluo da produo de veculos" em milhes de unidades, contedo a seguir_`]
1 Coluna: Ano;
2 Coluna: Evoluo da populao.
<R->
<F+>

 !:::::::::::::::
 l 1   _ 2    _
 r:::::::w::::::::w
 l 2000 _ 1,691 _
 l 2002 _ 1,792 _
 l 2004 _ 2,317 _
 l 2006 _ 2,611 _
 l 2008 _ 3,425 _
 h:::::::j::::::::j

  Projeo representa aumento de 15% sobre o ano passado; previ-
<p>
so anterior era de 3,235 milhes, com alta de 8,9%.
<R+>
<F->

Fonte: Anfavea. (*Folha de S. Paulo*, 6/6/2008.)

a) Em que setor de atividades o grfico 1 : 
 funo crescente? 
 funo decrescente?  
b) Pelo grfico 2, em que anos a produo de veculos foi (aproximadamente) a mesma?  
c) Em que ano houve o maior aumento no nmero de veculos fabricados em relao ao ano anterior?  
<F+>
<R->
<274>

O preo do coco 

  Na barraca do seu Z da praia, cada coco  vendido a R$2,00. 
  Dessa forma, temos: 
 3 cocos custam R$6;
 6 cocos custam R$12; 
 9 cocos custam R$18.
<p>
  Observe que dobrando o nmero de cocos, dobra o preo; triplicando o nmero de cocos, triplica o preo. 

Proporcionalidade 

  Vamos fazer alguns clculos. 
  Na situao anterior, dividindo o preo pelo nmero de cocos, obtemos: 
 6~3=2, 12~6=2, 18~9=2
  Em todos os casos, a razo preo ~ nmero de cocos  sempre 2; portanto,  constante. 
  O preo *y*, em reais, de *x* cocos  dado por y=2x. 
  A razo y~x  constante e igual a 2. 
  Dizemos que o preo  proporcional ao nmero de cocos e que a razo entre o preo e o nmero de cocos  2. 

Funo linear 

  Note que y=2x  uma funo do 1 grau em que b=0. Esse tipo de funo recebe um nome especial: funo linear. 

  Uma funo do tipo y=ax, a=0,  denominada funo linear. Numa funo linear, *y*  proporcional a *x*. A razo entre *y* e *x*  a constante *a*. 

  Vamos ver a seguir alguns exemplos de funes lineares. 
<275>

A distncia percorrida 

  Um ciclista est percorrendo 4 quarteires a cada minuto. 
Dobrando o tempo, dobra o nmero de quarteires. Triplicando o tempo, triplica o nmero de quarteires. Quadruplicando o tempo, quadruplica o nmero de quarteires. O nmero de quarteires percorridos  proporcional ao tempo gasto para percorr-los. 
  Por meio desses dados, como  o grfico da distncia percorrida pelo ciclista em funo do tempo? 
  Fazendo y= nmero de quarteires e x= tempo gasto no percurso, em minutos, a razo entre *y* e *x*  constante: y~x=4. 
  Temos uma funo linear: 
 y=4x 
  Essa funo  crescente, e seu grfico passa pela origem `(0,#j`) do sistema de coordenadas. 

 !::::::::::::::::::::::::::
 l Tempo     _ N.o de      _    
 l `(min`)      _ quarteires  _
 r::::::::::::w::::::::::::::w
 l 0         _ 0           _
 l 1         _ 4           _
 l 2         _ 8           _
 l 3         _ 12          _
 l 4         _ 16          _
 l 5         _ 20          _
 h::::::::::::j::::::::::::::j

  O grfico _`[no representado_`] de uma funo linear  uma reta que passa pela origem do sistema de coordenadas. 
<p>
A altura da gua e a quantidade 
  de copos 

  Colocando um copo de gua em um recipiente cilndrico vazio, a altura da gua no recipiente atinge 0,8 cm. 
  Dobrando o nmero de copos, dobra a altura da gua no recipiente. Triplicando o nmero de copos, triplica a altura, e assim por diante. A altura da gua no recipiente  proporcional ao nmero de copos de gua despejados. 
<276>
  A razo entre a altura *y*, da gua no recipiente, em centmetros, e o nmero de copos colocados *x*  constante: y~x=0,8. 
  Temos uma funo linear y=0,8x, que  crescente, cujo grfico _`[no representado_`] passa pela origem `(0,#j`). 
<p>
 !:::::::::::::::::::::::::::::::
 lN.o de copos_Altura da gua no_
 l d'gua      _recipiente `(cm`)   _
 r:::::::::::::w::::::::::::::::::w
 l 0          _ 0               _
 l 1          _ 0,8             _
 l 2          _ 1,6             _
 l 3          _ 2,4             _
 l 4          _ 3,2             _
 h:::::::::::::j::::::::::::::::::j

  Vejamos mais alguns exemplos: 

Uma funo linear decrescente 

  Na funo y=-2x, a razo y~x  constante, igual a -2, para todo x=0. Observe que, dobrando *x*, *y* dobra; triplicando *x*, *y* triplica, etc. Multiplicando *x* por qualquer nmero, *y* fica multiplicado pelo mesmo nmero. 
  A funo y=-2x  uma funo linear decrescente. 
<p>
 !:::::::::
 l x  _ y   _
 r::::w:::::w
 l 1 _ -2 _
 r::::w:::::w
 l 2 _ -4 _
 r::::w:::::w
 l 3 _ -6 _
 r::::w:::::w
 l 4 _ -8 _
 h::::j:::::j

Uma funo no linear 

  H uma funo que a cada nmero positivo *x* faz corresponder a rea *y* do quadrado de lado *x*. Quanto maior for *x*, maior ser *y*. Logo,  uma funo crescente. 
 x= lado 
 y= rea 
<F->
<p>
y   yy  yyy  yyyy
     yy  yyy  yyyy
           yyy  yyyy
                   yyyy

x=1 x=2  x=3    x=4
y=1 y=4  y=9    y=16
<F+>
<277>

  Neste exemplo, *y* no  proporcional a *x*, porque dobrando *x*, *y* no dobra, mas sim quadruplica; multiplicando *x* por 3, *y* no fica multiplicado por 3, mas sim por 9. 
  Observe que a razo y~x no  constante, no d sempre o mesmo nmero: 
<R+>
 se x=1, y=1 e temos y~x=1~1=1; 
 se x=2, y=4 e temos y~x=4~2=2; 
 se x=3, y=9 e temos y~x=9~3=3, etc. 
<R->
<p>
  Agora, olhando a frmula da funo, a rea *y* do quadrado de lado *x*  dada por y=x2. Veja 
que no  funo linear (no  do tipo y=ax, sendo a constante *a* um nmero conhecido). 

Exerccios

<R+>
<F->
48. Responda: 
a) A altura de um adolescente  funo da idade dele? Por qu?  
b) A altura de uma pessoa  proporcional  idade dela? Por qu? 

49. Num tringulo equiltero {a{b{c _`[no representado_`] de lado 4 cm, marcamos um ponto P 
  em ^c?{a{b*, a *x* cm de A. A cada *x*, 0<=x <=4, corresponde uma rea *y* do tringulo 
<p>
  {a{p{c _`[no representado_`], em cm2. 
a) Obtenha *y* como funo de *x*. 
b) *y*  proporcional a *x*? 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

50. O carro da dona Mariane percorre 10 quilmetros com 1 litro de gasolina. A gasolina est custando R$2,10 o litro. 
a) Copie a tabela em seu caderno e complete-a: 
<F+>
<R->

 !:::::::::::::::::::::::::::::::
 l Quilmetros_Custo da gasolina_
 l percorridos _consumida `(R$`)   _
 r:::::::::::::w::::::::::::::::::w 
 l 10         _ '''              _
 l 5          _ '''              _
 l 15         _ '''              _
 l 20         _ '''              _
 l 30         _ '''              _
 l 40         _ '''              _
 h:::::::::::::j::::::::::::::::::j
<p>
<R+>
<F->
b) Determine a frmula do custo *y* em reais para percorrer *x* quilmetros. 
c) O gasto com gasolina  proporcional  distncia percorrida? Por qu? 
 
51. Analise a funo dada em cada tabela: 
<F+>
<R->

I-
  !:::::::::
  l x  _ y   _
  r::::w:::::w
  l 1 _ 11 _
  l 2 _ 12 _
  l 3 _ 13 _
  l 4 _ 14 _
  l 5 _ 15 _
  l 6 _ 16 _
  l 7 _ 17 _
  l 8 _ 18 _
  h::::j:::::j
<p>
II-
  !:::::::::
  l x  _ y   _
  r::::w:::::w
  l 1 _ 10 _
  l 2 _ 20 _
  l 3 _ 30 _
  l 4 _ 40 _
  l 5 _ 50 _
  l 6 _ 60 _
  h::::j:::::j

III-
  !:::::::::::
  l x   _ y    _
  r:::::w::::::w
  l 1  _ 10  _
  l 2  _ 5   _
  l 4  _ 2,5 _
  l 5  _ 2   _
  l 10 _ 1   _
  l 20 _ 0,5 _
  h:::::j::::::j
<p>
IV-
  !::::::::
  l x  _ y  _
  r::::w::::w
  l 1 _ 8 _
  l 2 _ 7 _
  l 3 _ 6 _
  l 4 _ 5 _
  l 5 _ 4 _
  l 6 _ 3 _
  l 7 _ 2 _
  l 8 _ 1 _
  h::::j::::j

V-
  !::::::::::
  l x  _ y    _
  r::::w::::::w
  l 1 _ 0,1 _
  l 2 _ 0,2 _
  l 3 _ 0,3 _
  l 4 _ 0,4 _
  l 5 _ 0,5 _
  l 6 _ 0,6 _
  h::::j::::::j
<p>
VI-
  !::::::::::
  l x  _ y    _
  r::::w::::::w
  l 1 _ 0,5 _
  l 2 _ 1,5 _
  l 3 _ 2,5 _
  l 4 _ 3,5 _
  l 5 _ 4,5 _
  l 6 _ 5,5 _
  h::::j::::::j

<R+>
<F->
a) Quais so funes crescentes?   
b) Quais so funes decrescentes? 
c) Em quais delas *y*  proporcional a *x*?

52. Um artigo cujo preo de tabela  *x* est sendo vendido com 12% de desconto. 
a) Escreva a expresso que d o valor *d* do desconto. 
b) Escreva a expresso que d o preo *v* de venda. 
c) *d* e *v* so proporcionais ao preo tabelado *x*? 
<p>
53. Os restaurantes cobram 10% da conta como taxa de servio --  a gorjeta do garom. Assim, para cada valor *x* da conta corresponde um valor *y* da gorjeta. 
a) Essa funo  crescente ou decrescente? Por qu?  
b) A gorjeta  proporcional ao valor da conta? Por qu?  
c) Qual  a frmula dessa funo? 
d) A gorjeta  funo linear da conta? 

54. Numa circunferncia, a 
  cada ngulo central ^a, 
  0<=^a <=180, corresponde uma corda ^c?{a{b*. O tamanho da corda  funo da medida do ngulo. 
a) Essa funo  crescente? Por qu?  
<p>
b) O tamanho da corda  proporcional  medida do ngulo? Por qu? 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
55. Um cavalo est amarrado a uma corda de *x* metros presa em um dos cantos de uma rea de pastagem quadrada, de 50 metros de lado. A rea *y* na qual ele consegue pastar  funo de *x*. 
a) Escreva *y* em funo de *x*, sabendo que a corda tem menos de 50 m. 
b) *y*  proporcional a *x*? 
<279>

56. Um bolo de 1 kg ser dividido igualmente entre os alunos de uma classe. A massa da fatia que cada aluno vai ganhar  funo do nmero de alunos da classe. 
<p>
  Neste exerccio, vamos recordar a proporcionalidade inversa (estudamos proporcionalidade direta e inversa no 7 ano).
a) Copie a tabela em seu caderno e complete-a: 
<F+>
<R->

 !:::::::::::::::::::::::::::::::
 lN.o de alunos_ Massa da fatia _
 lda classe     _ de cada um `(g`)  _
 r::::::::::::::w:::::::::::::::::w
 l 5           _ '''             _
 l 10          _ '''             _
 l 20          _ '''             _
 l 25          _ '''             _
 l 32          _ '''             _
 l 40          _ '''             _
 h::::::::::::::j:::::::::::::::::j

<R+>
<F->
b) Dobrando o nmero de alunos, o que ocorre com a massa de cada fatia? 
c) Multiplicando por 4 o nmero de alunos, o que ocorre com a massa de cada fatia? 
<p>
d) Qual  a frmula da massa *y*, em gramas, de cada fatia em funo do nmero *x* de alunos?  
e) Quanto  o produto xy? 

  Se numa correspondncia entre duas grandezas *x* e *y*, quando *x*  multiplicado por um nmero, *y* fica dividido por esse nmero, dizemos que *y*  inversamente proporcional a *x*. 

  *y*  inversamente proporcional a *x* quando o produto xy  constante. 

57. No exerccio 51., em que tabela *y*  inversamente proporcional a *x*? 

58. O senhor Oliveira comprou um rolo de arame em uma loja de ferragem, com o qual pretende cercar um terreno retangular. 
  Nos itens a seguir, vamos descrever duas funes. Classifi-
<p>
  que cada uma em crescente ou decrescente, e diga se h proporcionalidade ou proporcionalidade inversa: 
a) A massa *y* de um pedao de arame  funo de seu comprimento *x*.  
b) O nmero *n* de voltas da cerca  funo do permetro *p* do terreno. 

59. Um meticuloso vendedor de queijos de Minas sempre os corta em fatias iguais, a partir do centro. 
a) A massa *y* de cada fatia  funo do ngulo central *x*. Essa funo  crescente ou decrescente? 
b) A massa *y* de cada fatia  funo da quantidade *n* de fatias. Essa funo  crescente ou decrescente? 
c) Explique se h alguma proporcionalidade em *a* ou em *b*. 
<280>
<p>
60. Dadas as funes a seguir, responda s perguntas considerando apenas valores positivos para *x* e para *y*. 
I- y=3x 
II- y=x~3 
III- y=3~x
IV- y=x+3 
V- y=x-3
VI- y=3-x
VII- y=x3 
VIII- y=3x 
IX- y=3x+1 
a) Quais funes so crescentes, ou seja, quanto maior for *x*, maior  *y*? 
b) Quais funes so decrescentes, ou seja, quanto maior for *x*, menor  *y*?  
c) Em quais delas *y*  proporcional a *x*? 
d) Em quais delas *y*  inversamente proporcional a *x*? 
e) Quais funes so do 1 grau? 
f) Quais so lineares?  
<p>
61. Em cada caso, expresse *y* como funo de *x*. A seguir, classifique a funo em crescente ou decrescente e diga se h proporcionalidade entre *y* e *x*. 
a) Precisamos desenhar um retngulo de permetro de 70 cm e devemos escolher o comprimento e a largura. A cada comprimento *x* corresponde uma largura *y*. 
b) Precisamos desenhar um retngulo de rea 80 cm2 e devemos escolher o comprimento e a largura. A cada comprimento *x* corresponde uma largura *y*. 

62. No interior de uma circunferncia de raio 10 cm traamos outra de raio *r*, concntrica. A cada *r* corresponde uma rea da coroa circular delimitada pelas duas circunferncias. 
a) Essa funo  crescente ou decrescente? Por qu? 
<p>
b) A rea da coroa  proporcional a *r*?  inversamente proporcional a *r*? 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
63. Vamos supor que o custo anual por aluno de escola pblica tenha crescido com o passar do tempo, de acordo com uma funo do 1 grau. Se em 2000 esse custo era R$1.200,00 e em 2005 j era R$1.800,00, quanto ser no ano 2015 se a taxa de crescimento continuar a mesma? 
64. O valor de uma mquina decresce com o tempo, devido ao desgaste. O valor  uma funo do 1 grau do tempo de uso da 
  mquina. Se h dois anos ela valia R$20.000,00 e hoje ela vale R$15.200,00, quanto valer daqui a cinco anos? 
<p>
  Numa funo do 1 grau y=ax+b, somando 1 a *x*, *y* fica somado com *a*. 
  Somando 2 a *x*, *y* fica somado a 2~a. Somando 3 a *x*, *y* fica somado a 3~a. 
  E assim por diante. A variao de *y*  proporcional  variao de *x*. 
<281>

65. Um pequeno fabricante de calados tem um custo mensal de R$7.000,00 quando produz 300 pares; para produzir 400 pares num ms, o custo sobe para R$8.500,00. Qual ser o custo mensal para produzir 600 pares? 

66. s 8 horas da manh comecei a esvaziar uma piscina. s 
  10 h, a altura da gua ainda 
  era de 10 azulejos. s 13 h, era de 8 azulejos. 
a) Qual ser a altura s 17 h 30 min? 
b) A que horas a piscina estar vazia?  
<F+>
<R->
<p>
Desafios 

Suco concentrado 

  O restaurante de uma grande indstria comprou 2.000 litros de suco para servir aos funcionrios. Ao verificar que o suco era muito concentrado, a nutricionista tirou um volume V para pr na salada de frutas e o substituiu por gua. Como ainda estava forte, retirou da mistura o mesmo volume V e o substituiu por gua. No final, os 2.000 litros de bebida servidos continham 1.125 litros do suco concentrado. 
  Qual foi o tal volume V retirado?  

Pega-pega 

  Pedro e Joo decidiram brincar de pega-pega. 
  Mas, como Pedro  maior, enquanto Joo d 6 passos, Pedro 
<p>
d apenas 5. No entanto, 2 passos de Pedro equivalem  distncia que Joo percorre com 3 passos. 
  Para comear a brincadeira, Joo d 60 passos antes de Pedro comear a persegui-lo. Depois de quantos passos Pedro alcana Joo? 

               ::::::::::::::::::::::::
<282>
<p>
Captulo 25- Funes do 2 
  grau

A rea vermelha do logo 

  O logotipo de uma empresa foi criado a partir de um quadrado dividido em oito partes iguais, conforme indica a figura _`[no representada_`]. A rea de cada parte  funo do lado do quadrado; portanto, a rea pintada de vermelho (duas das oito partes)  funo do lado do quadrado. 
  Qual  a frmula dessa funo? Como  o grfico dessa funo? 

Frmula e grfico da funo do 
  2 grau 

  Representando por *x* a medida em centmetros do lado do quadrado e por *y* a rea em centmetros quadrados da parte vermelha, temos a frmula: 
 y=2~8x2
<p>
  Logo: 
 y=0,25x2 
  Vamos obter alguns pontos do grfico atribuindo valores para *x* (medida em centmetros do lado do quadrado). 

 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l Lado  _ rea vermelha      _
 l `(cm`)   _ `(cm2`)             _
 l x      _ y=0,25x2         _
 r::::::::w:::::::::::::::::::::w
 l 1     _ y=0,2512=0,25 _
 l 2     _ y=0,2522=1    _
 l 3     _ y=0,2532=2,25 _
 l 4     _ y=0,2542=4    _
 l 5     _ y=0,2552=6,25 _
 l 6     _ y=0,2562=9    _
 h::::::::j:::::::::::::::::::::j

  Como *x* pode ser qualquer nmero real positivo, atribuindo valores entre os da tabela vamos obter outros pontos situados entre os desenhados anteriormente. O grfico _`[no representado_`]  uma 
<p>
curva contnua. A funo  crescente. Podemos tambm considerar x=0, para o qual y=0. 
<283>
  Observe o grfico _`[no representado_`] de y=0,25x2, para 
 x >=0. 
  Agora vamos considerar a mesma frmula, y=0,25x2, definindo uma funo vlida para todo *x* real. Atribuindo a *x* valores simtricos aos da tabela anterior, obtemos: 

 !:::::::::::::::::::::::::::::::
 l x   _ y=0,25x2              _
 r:::::w::::::::::::::::::::::::::w
 l -1 _ y=0,25`(-1`)2=0,25   _
 l -2 _ y=0,25`(-2`)2=1      _
 l -3 _ y=0,25`(-3`)2=2,25   _
 l -4 _ y=0,25`(-4`)2=4      _
 l -5 _ y=0,25`(-5`)2=6,25   _
 l -6 _ y=0,25`(-6`)2=9      _
 h:::::j::::::::::::::::::::::::::j

  Note que obtemos pontos simtricos aos que j tnhamos, em relao ao eixo dos *y*. O grfico _`[no representado_`]  uma curva aberta: atribuindo a *x* valores maiores que 6, ou menores que -6, podemos prolong-la para ambos os lados. Essa curva  denominada parbola. Toda parbola apresenta um eixo de simetria, que nesse exemplo  o eixo *y*. 

Exerccios

<R+>
67. Em seu caderno, copie a tabela e complete-a; depois faa o grfico da funo y=2x2. 
<R->

  !::::::::::
  l x   _ y   _
  r:::::w:::::w
  l 0  _ ''' _
  l 1  _ ''' _
  l-1  _ ''' _
  l 2  _ ''' _
  l-2  _ ''' _
  h:::::j:::::j

<R+>
<F->
68. Faa o grfico de cada funo no seu caderno: 
a) y=x2  
b) y=x2+1  
c) y=x2-1 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<284>

O preo da viagem de formatura 

  Os formandos do ensino fundamental reuniram-se e planejaram uma viagem para comemorar a formatura. 
  A agncia de turismo Teen-tour oferece o seguinte pacote promocional: o preo por aluno diminui  medida que mais alunos forem aderindo. Se *x* alunos aderirem, o preo *p* para cada um ser p=180-0,6x reais. 
  Observe que *p*  funo decrescente de *x*, conforme prometido. 
  Quanto a *Teen-tour* vai receber para promover a viagem? 
  Se *x* alunos aderirem, cada um pagando *p* reais, a receita `(R`) ser x.p; logo, x.`(180-0,6x`). Assim, a receita  funo do nmero *x* de alunos que viajarem. Indicada por R`(x`), temos: 
 R`(x`)=x`(180-0,6x`) :> R`(x`)=
  =180x-0,6x2 
  Vejamos o grfico da funo anterior: 

 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l x   _ R`(x`)=x`(180-0,6x`)    _
 r:::::w::::::::::::::::::::::::w
 l 0  _ R=0                  _
 l 50 _ R=50(180-30)=      _
 l     _   =7.500              _
 l 100_ R=100(180-60)=     _
 l     _   =12.000             _
 l 150_ R=150(180-90)=     _
 l     _   =13.500             _
 l 200_ R=200(180-120)=    _
 l     _   =12.000             _
 l 250_ R=250(180-150)=    _
 l     _   =7.500              _
 l 300_ R=300(180-180)=0  _
 h:::::j::::::::::::::::::::::::j

  Ligamos os pontos do grfico _`[no representado_`], mostrando uma curva contnua, como se *x* pudesse ser qualquer nmero real de 0 a 300. (No problema proposto, *x*  nmero inteiro positivo, pois representa a quantidade de alunos.) A curva  parte de uma parbola. O eixo de simetria  a reta paralela ao eixo *y*, cortando o eixo *x* no ponto de abscissa 150. 
  Considerando a funo: 
 y=180x-0,6x2 
  Definida para todo *x* real, atribuindo a *x* valores menores que 0 ou maiores que 300, vamos obtendo outros pontos da parbola, que vai se abrindo para baixo. 
  Observe que, nesse caso, a agncia ter receita mxima se forem 150 alunos. 
<285>

Exerccios

<R+>
69. No seu caderno, copie a tabela e complete-a; depois faa o grfico da funo: 
 a) y=x2-2x 
<R->

  !::::::::::::
  l x   _ y     _
  r:::::w:::::::w
  l 0  _ '''   _
  l 1  _ '''   _
  l 2  _ '''   _
  l 3  _ '''   _
  l-1  _ '''   _
  h:::::j:::::::j

b) y=x2+4x

  !::::::::::::
  l x   _ y     _
  r:::::w:::::::w
  l 0  _ '''   _
  l 1  _ '''   _
  l 2  _ '''   _
  l 3  _ '''   _
  l 4  _ '''   _
  h:::::j:::::::j

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
70. Temos um quadrado de lado 10 cm. Se aumentarmos *x* cm no lado, ir ocorrer um aumento de *y* cm2 na rea. Qual  a frmula para calcular *y*, sendo dado o valor de *x*? 
<R->

O alvo em um jogo de dardos

  Em um parque de diverses h uma barraca de jogo de dardos com um alvo diferente. 
  O jogador ganha pontos se atingir a rea verde e perde se atingir a vermelha. 
  O alvo  construdo escolhendo-se a medida *x*, de modo que a diferena entre as reas verde e vermelha seja a menor possvel. Indicando essa diferena por *y*, quanto  *y* em funo de *x*? 
  Considere que todas as medidas so dadas em centmetros. 

<R+>
_`[{na figura a seguir *vd* representa a cor verde e *vm* a cor vermelha_`]
<R->
<p>
<F->
       x
     pccc
     lvd _ 10
 !:::r:::w:::
 l   l   _   _
 l   l   _   _ 20
 lvd lvm _vd _
 l   l   _   _
 l   l   _   _
 h:::r:::w:::j
     lvd _
     v---#
<F+>

  A parte verde  constituda de dois quadrados de rea x2 cm2 cada um e dois retngulos de rea 200 cm2 cada um. Portanto, a rea verde total  2.x2+2`.
 .200. A regio vermelha  um retngulo de rea `(20x`) cm2. Portanto, *y* em cm2  dado por: 
 y=2x2+2`.200-20x 
  Logo: 
 y=2x2-20x+400 
<p>
  Vejamos o grfico _`[no representado_`] dessa funo: 

 !::::::::::::::::::::::::::::::
 l x  _ y=2x2-20x+400       _
 r::::w::::::::::::::::::::::::::w
 l 0 _ y=202-200+400=  _
 l    _   =400                  _   
 l 2 _ y=222-202+400=  _
 l    _   =368                  _
 l 5 _ y=252-205+400=  _ 
 l    _   =350                  _
 l 8 _ y=282-208+400=  _
 l    _   =368                  _
 l 10_ y=2102-2010+400=_
 l    _   =400                  _
 h::::j::::::::::::::::::::::::::j

  Aqui tambm a curva  parte de uma parbola se considerarmos apenas x >=0 (uma vez que *x*  uma medida). 
<286>

  Considerando uma funo definida pela frmula y=2x2-20x+400 para todo *x* real, a curva  a 
<p>
parbola toda. Atribuindo a *x* valores maiores que 10 ou menores que 0 vamos obtendo outros pontos e a parbola vai se abrindo para cima. O eixo de simetria  a reta paralela ao eixo *y*, que corta o eixo *x* no ponto de abscissa 5. 

Funo quadrtica 

  Nos trs problemas propostos vimos funes definidas por frmulas do tipo y=ax2+bx+c, em que *a*, *b* e *c* so nmeros conhecidos, sendo a=0: 
<R+>
 em y=0,25x2, temos a=0,25; b=c=0; 
 em y=180x-0,6x2, temos a=-0,6; b=180; c=0; 
 em y=2x2-20x+400, temos a=2; b=-20 e c=400. 
<R->
  Funes assim so denominadas funes quadrticas ou funes do 2 grau. 
<p>
  Uma funo definida para todo *x* real por uma frmula do tipo y=ax2+bx+c, em que *a*, *b* e *c* so nmeros reais conhecidos e a=0,  denominada funo quadrtica (ou funo do 2 grau). 

  Vimos tambm que: 

  O grfico de uma funo quadrtica  uma parbola. 

  Observe que: 
<R+>
 y=0,25x2  uma parbola que vai se abrindo para cima. Dizemos que  uma parbola de concavidade voltada para cima, ou cncava para cima simplesmente. O coeficiente de x2, a=0,25,  positivo. 
 y=180x-0,6x2  uma parbola que vai se abrindo para baixo. Dizemos que  uma parbola de concavidade voltada para baixo, ou cncava para baixo simplesmente. O coeficiente de x2, a=-0,6,  negativo. 
<p>
 y=2x2-20x+400  parbola cncava para cima e a=2  positivo. 
<R->
  Na funo y=ax2+bx+c, a=0, podemos atribuir a *x* valores muito grandes (por exemplo, um mil, um milho, um bilho), tornando a parcela ax2, em valor absoluto, muito maior que as outras. O sinal dessa parcela  o sinal de *a*. Por isso, se a >0, o valor da funo para *x* bem grande ser positivo e a parbola ir para cima. Se a <0, ocorre o contrrio. 

  Quando a >0, a parbola  cncava para cima. 
  Quando a <0, a parbola  cncava para baixo. 

Exerccios

<R+>
<F->
71. Sem fazer o grfico verifique se a parbola  cncava para 
<p>
  cima ou para baixo. Depois, calcule f`(-1`), f`(0`), f`(1`), f`(2`), f`(3`) e faa o grfico. 
a) f`(x`)=x2-2x-3 
b) f`(x`)=-x2+2x+2  

72. Releia o texto do problema "O alvo em um jogo de dardos". Para qual valor de *x* a diferena *y*  a menor possvel? 
<F+>
<R->
<287>

O vrtice da parbola 

  O ponto em que o eixo de simetria corta a parbola  denominado vrtice da parbola. Vamos indic-lo por V. 
  Em y=0,25x2, V  o ponto de coordenadas `(0,#j`). 
 V=`(0,#j`) 
  Nesse caso, V  o ponto mais baixo da parbola, em que a funo tem o seu valor mnimo. 
  O valor mnimo de *y*  0, que corresponde a x=0. Observe que para todo x=0 corresponde um *y* maior que 0. 
<p>
  Em y=180x-0,6x2, V  o ponto de coordenadas 
 `(150,#ac.ejj`). 
 V=`(150,#ac.ejj`) 
  Nesse caso, V  o ponto mais alto da parbola, em que a funo tem o seu valor mximo. 
  O valor mximo de *y*  13.500, que corresponde a x=150. Note que para todo x=150 corresponde um *y* menor que 13.500. No problema, a receita mxima que a Teen-tur pode receber  de R$13.500,00, que ocorrer se exatamente 150 alunos viajarem.
  Ento, como podemos determinar o vrtice da parbola y=ax2+
 +bx+c? 
  Vamos representar por xV a abscissa do vrtice. 
  Devido  simetria da curva, os pontos de abscissas xV+1 e xV-1 tm ordenadas iguais. Ento, substituindo *x* por xV+1 e por xV-1, os valores calcula-
<p>
dos para *y* so iguais. Logo: 
<R+>
<F->
a`(xV+1`)2+b`(xV+1`)+c=
  =a`(xV-1`)2+b`(xV-1`)+c 
4axV=-2b 
2axV=-b 
xV=-b~2a 
<F+>
<R->
  O vrtice  o ponto da abscissa xV=-b~#b~a. 
<288>
  Para obter a ordenada yV,  s substituir *x* por xV na frmula da funo: 
 yV=axV2+bxV+c 
  Vamos, ento, calcular as coordenadas do vrtice das funes que estamos usando como exemplos: 
  Em y=0,25x2, temos a=0,25 e 
  b=c=0. 
 xV=-b~2a=0~0,5=0
 yV=0,25.xV2=0,25.0=0 
  Logo, V=`(0,#j`). 
  Em y=180x-0,6x2, a=-0,6, b=180 e c=0. 
<R+>
<F->
xV=-b~2a=-180~-1,2=150
yV=180xV-0,6v2=180150-
  -0,61502=13.500
<F+>
<R->
  Logo, V=`(150,#ac.ejj`). 
<p>
  Em y=2x2-20x+400, temos a=2; b=-20 e c=400. 
<R+>
 xV=-b~2a=20~4=5
 yV=2.xv2-20.xv+400=
  =2.52-20.5+400=350 
<R->
  Logo, V=`(5,#cej`). 

Construo de uma parbola 

  Quando vamos construir uma parbola,  importante mostrarmos o vrtice e alguns pontos simtricos (em relao ao eixo de simetria da curva). Por isso, comeamos calculando xV e escolhemos valores convenientes para atribuir a *x*. 
  Vejamos um exemplo. Vamos construir, passo a passo, o grfico da funo f`(x`)=x2-2x+2. 
 1 passo: Determinamos xV. 
  Para f`(x`)=x2-2x+2, temos: a=1, b=-2 e c=2
<p>
  Aplicando a frmula xV=
 =-b~2a, obtemos: 
 xV=-`(-2`)~2.1=2~2=1
<R+>
2 passo: Fazemos a tabela atribuindo a *x* o valor de xV e mais alguns valores, menores e maiores que xV. Damos a *x* os valores: -1, 0, 1, 2 e 3. 
<289>
 3 passo: Calculamos os valores de *y*. 
<R->

<R+>
<F->
_`[Tabela adaptada em trs colunas, contedo a seguir_`]
1 Coluna: x; 
2 Coluna: y=x2-2x+2; 
3 Coluna: Ponto.
-1; y=`(-1`)2-2`(-1`)+2=5; `(-1,#e`).
0; y=02-20+2=2; `(0,#b`).
1; yV=12-21+2=1; `(1,#a`).
2; yV=22-22+2=2; `(2,#b`).
3; y=32-23+2=5; `(3,#e`).
<p>
4 passo: Marcamos os pontos no grfico. 

<F->
          y_
           _
         6w
           _
   o~~~~5w:::::::::::::o       
     {     _             
     {   4w             
     {     _             
     {   3w             
     {     _             
     {   2o:::::::o   
     {     _    V     
     {   1w:::o      
     {     _         
:w:::w:::w:w:::gg:::gg:::gg:::::o
-2 -1  0_   1   2   3     x
        -1w
           _
        -2w
           _
<F+>

<F+>
<p>
5 passo: Traamos a curva. 

_`[No grfico a seguir, a curva no foi representada_`].
<F+>
<R->

<F->
          y_
           _
         6w
           _
   o~~~~5w:::::::::::::o       
     {     _             
     {   4w             
     {     _             
     {   3w             
     {     _             
     {   2o:::::::o   
     {     _    V     
     {   1w:::o      
     {     _         
:w:::w:::w:w:::gg:::gg:::gg:::::o
-2 -1  0_   1   2   3     x
        -1w
           _
        -2w
           _
<F+>
<p>
  No 3 passo, tendo feito as contas para x=-1 e para x=0, no 
era preciso faz-las para x=2 nem para x=3. O resultado j era conhecido pela simetria do grfico. 

Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios 73 a 75, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
<F->
73. Responda s perguntas a seguir para cada funo quadrtica. 
a) Quais so os valores dos coeficientes *a*, *b* e *c*? 
b) O grfico  parbola cncava para cima ou para baixo?  
c) Qual  a abscissa do vrtice da parbola? 
  Depois, escolha alguns pontos e faa o grfico de cada funo. 

74. Para cada *x*, 0<=x <=4, em centmetros, f`(x`)  a rea colorida no interior do quadrado 
<p>
  de lado 8 cm, como indica a figura _`[no representada_`]. 
a) Determine a frmula de f`(x`).  
b) Faa o grfico de *f*.  
c) Para que valor de *x* a rea  a mxima possvel? 
d) Quanto  a rea mxima? 
<290> 

75. Um cinema est apresentando *Homem-aranha*. O filme  oferecido a grupos de *x* estudantes pelo preo individual de p=`(30-0,1x`) reais. 
a) Numa sesso em que foram arrecadados R$2.000,00, quantos estudantes compareceram? 
b) Qual  a frmula da receita R recebida pelo cinema numa sesso  qual comparecem *x* estudantes? 
c) Faa o grfico da arrecadao e verifique quantos estudantes devem comparecer para dar a receita mxima e qual  a receita mxima. 
<p>
76. Na figura, o tringulo {a{b{c representa um pedao de cartolina, do qual queremos recortar um retngulo {a{p{q{r, sendo P no lado ^c?{a{b* e Q no lado ^c?{b{c*. 
<F+>
<R->

<F->
       C
         v
         l
         l 
         l  
         l   
         l    
         l     
  60 cm l       
       RpcccccclQ 
         l      l 
         l      l  
         l      l   
         l_-    l    
         v------v-----u
       A      P     B
         <::::::::::::>
             40 cm
<F+>
<p>
<R+>
<F->
a) Tomando P a 30 cm de A, qual ser a rea do retngulo recortado?
b) Expresse a rea *y* do retngulo em funo da distncia *x* de P a A.
c) Qual  a rea mxima do retngulo? 

77. De uma cartolina retangular de 60 cm por 40 cm recortamos quatro quadrados iguais, um em cada canto, e dobramos as abas laterais, construindo uma caixa aberta. 
<F+>
<R->

<F->
                x  
  ,,!::::::::::~~
  k l          _ {
  r:r,,,,,,,,,,w:w
  l k          { _
  l k          { _
  r:r,,,,,,,,,,w:w
  k l          _ {
  ,,h::::::::::j~~
<F+>
<F->
<p>
  Calcule: 
<R+>
<F->
a) a rea A da cartolina usada para fazer a caixa, aps ter recortado os quadrados de lado *x* cm; 
b) o volume V da caixa; 
c) as dimenses da caixa quando a rea total das abas laterais  a mxima possvel. 
<F+>
<R->

<R+>
_`[{para os exerccios 78 a 80, pea orientao ao professor_`]

<F->
78. Em cada caso, represente as parbolas em um mesmo sistema cartesiano: 
a) y=x2; y=2x2; y=x2~2 
b) y=-x2; y=-x2-2; y=-x2+2

79. Represente em uma mesma figura os grficos das funes 
  f`(x`)=2x2+4x-6 e g`(x`)=x2+
  +2x-3 e determine as coordenadas dos pontos de interseo. 
<p>
80. Represente em uma mesma figura os grficos das funes 
  f`(x`)=x2 e g`(x`)=2-x e determine as coordenadas dos pontos de interseo. 
<F+>
<R->
<291>

Desafio
 
Mecnica e matemtica 

  As engrenagens A, B e C tm 20, 40 e 100 dentes, respectivamente. Se B completar dez voltas no sentido horrio, quantas voltas completaro A e C? Em que sentido?  

Intersees com os eixos 
  coordenados 

  Pelos exemplos de grficos que vimos at aqui, foi possvel observar que a parbola pode cortar os eixos coordenados. 
<p>
  Sem desenhar a parbola,  possvel saber em que pontos a parbola y=x2-4x+3 corta os eixos coordenados? 
  O ponto em que corta o eixo dos *y* tem abscissa x=0. 
 x=0 :> y=x2-4x+3=02-4.0+
  +3=3 :> y=3 
  A parbola, portanto, corta o eixo *y* no ponto `(0,#c`). 
  J os pontos do eixo dos *x* tm ordenada y=0. 
 y=0 :> x2-4x+3=0 :> `(x=3 
  ou x=1`) 
  Nesse caso, a parbola corta o eixo *x* em `(3,#j`) e em `(1,#j`). 
  Ao construir o grfico de uma parbola,  importante indicar as intersees com os eixos. 
  Em y=ax2+bx+c, para x=0, encontramos y=c. 
  O ponto em que a parbola y=
 =ax2+bx+c corta o eixo dos *y*  `(0,c`). 
<p>
  Para encontrarmos os pontos em que ela corta o eixo *x*, precisamos resolver a equao ax2+bx+c=
 =0. 
  
Os zeros da funo quadrtica 
  
  As razes da equao ax2+bx+
 +c=0 so denominadas zeros da funo f`(x`)=ax2+bx+c. 

<R+>
_`[{um professor fala: "Lembra-se da frmula de Bhaskara, que voc viu na unidade 3?"_`]
<R->

  Zeros de uma funo *f* so os valores de *x* para os quais 
 f`(x`)=0. 
<292>

  Conforme o sinal de 
 ^d`(^d=b2-4ac`), teremos um dos seguintes casos: 

  ^d >0 :> f`(x`) tem dois zeros. 
  ^d=0 :> f`(x`) tem um nico zero. 
  ^d <0 :> f`(x`) no tem zeros. 
<p>
  Por exemplo, sendo f`(x`)=x2-
 -4x+3, temos ^d=4 e os zeros de *f* so 3 e 1. 

Exerccios

<R+>
<F->
81. Dada a funo definida por f`(x`)=x2+2x+1, para que valor de *x* tem-se f`(x`)=0? 

82. Obtenha os pontos de interseo dos eixos coordenados com o grfico da funo: 
a) f`(x`)=2x2-x-6
b) f`(x`)=-2x2-12x-18  
c) f`(x`)=1~3x2-2x+4 
d) y=6x2+5x+1 
e) y=4x2-12x+8
f) y=4+3x+x2  

83. Dada a funo f`(x`)=
  =2x2-16x+24: 
a) Determine os zeros de *f*.  
b) Determine a abscissa do vrtice do grfico de *f*. 
<p>
c) Qual  a mdia aritmtica dos zeros da funo *f*? 
  Se uma funo quadrtica tem dois zeros, a mdia aritmtica deles  sempre a abscissa do vrtice? 
<F+>
<R->

Os sinais da funo quadrtica 

  Observemos o grfico _`[no representado_`] da funo f`(x`)=
 =x2-4x+3. 
  Os zeros de *f*, 1 e 3, so as abscissas dos pontos em que a parbola corta o eixo *x*. 
  Vamos percorrer o grfico da esquerda para a direita, observando os sinais de *y* para cada valor de *x*. 
  Antes de chegar a x=1, todos os pontos da parbola esto acima do eixo *x*, tendo ordenada *y* positiva: 
<R+>
 para todos os valores de *x* menores do que 1, temos 
  f`(x`)>0; 
<p>
 para x=1, temos f`(x`)=0. 
<R->
<293>
  Depois de x=1 e antes de x=3, os pontos da parbola esto abaixo do eixo *x*, tendo ordenada *y* negativa: 
<R+>
 para os valores de *x* compreendidos entre 1 e 3, temos f`(x`)<0; 
 para x=3, temos f`(x`)=0. 
<R->
  Depois de x=3, todos os pontos da parbola esto acima do eixo *x*, tendo ordenada *y* positiva: para todos os valores de *x* maiores do que 3, temos f`(x`)>0. 
  Percorrendo o eixo *x*, da esquerda para a direita, conclumos que: 
<F->
x <1 :> f`(x`)>0 
x=1 :> f`(x`)=0 
1< x <3 :> f`(x`)<0 
x=3 :> f`(x`)=0 
x >3 :> f`(x`)>0 
<F+>
  Podemos resumir assim: 
<F->
`(x=1 ou x=3`) :> f`(x`)=0 
1< x <3 :> f`(x`)<0 
`(x <1 ou x >3`) :> f`(x`)>0 
<F+>
<p>
  Em palavras: 

  Os zeros de *f* so 1 e 3. Entre 1 e 3, *f*  negativa. Fora do intervalo de 1 a 3, *f*  positiva. 

  Para darmos os sinais de uma funo f`(x`)=ax2+bx+c, a=0, s precisamos fazer um esboo do grfico de *f* levando em conta duas informaes fundamentais: 
<R+>
 quais so os zeros de *f* (se existirem); 
 qual  a concavidade da parbola. 
<R->
  Nos exemplos a seguir, analisaremos os sinais de algumas funes quadrticas. 
<R+>
<F->

f`(x`)=-x2-3x 
 zeros: 
-x2-3x=0 :> -x`(x+3`)=0 
  :> `(-x=0 ou x+3=0`) 
  :> `(x=0 ou x=-3`) 
<F+>
<R->
  A parbola corta o eixo *x* nos pontos de abscissas -3 e 0. 
<294>
<p>
<R+>
<F->
 concavidade:
a=-1 :> a <0 :> concavidade para baixo 

_`[{o esboo do grfico no foi representado, pea orientao ao professor_`]
<R->

Anlise 
  
  Em palavras: 
<R+>
 Os zeros de *f* so -3 e 0. 
 Entre -3 e 0, *f*  positiva. 
 Fora do intervalo de -3 a 0, *f*  negativa. 
<R->
<F+>
<R->
  Em smbolos: 
<R+>
 `(x=-3 ou x=0`) :> f`(x`)=0 
 -3< x <0 :> f`(x`)>0 
 `(x <-3 ou x >0`) :> f`(x`)<0
<R->
 
<F->
f`(x`)=2x2-8x+8 
 zeros: 
2x2-8x+8=0 :> x=
  =?8+:-?64-4.2.8**~4 
  :> x=?8+:-10*~4=2
<F+>
<p>
  Como ^d=0, a parbola tem um nico ponto comum com o eixo dos *x*; nesse caso ela tangencia o eixo *x* no ponto de abscissa 2. 
<R+>
<F->
 concavidade: 
a=2 :> a >0 :> concavidade para cima
 
_`[{o esboo do grfico no foi representado, pea orientao ao professor_`]
<R->

Anlise 

  Em palavras: 
<R+>
 *f* tem um zero em x=2. 
 *f*  positiva para todo *x* diferente de 2. 
<R->
  Em smbolos: 
 x=2 :> f`(x`)=0 
 x=2 :> f`(x`)>0 

f`(x`)=x2+7x+13 
 zeros: 
x2+7x+13=0 :> x=
  =?-7+:-?49-4.1.13**~2
<p>
:> x=?-7+:--3*~2,_r
  Como ^d <0, no existem zeros; a parbola no corta nem tangencia o eixo *x*. 

 _r= conjunto dos reais.
 ,= pertence.
 ,= no pertence.
<295>

 concavidade: 
a=1 :> a >0 :> concavidade para 
  cima 

<R+>
_`[{o esboo do grfico no foi representado, pea orientao ao professor_`]
<R->

Anlise 

  Em palavras: 
<F->
 *f*  positiva para todo *x* 
  real. 
  Em smbolos: 
 f`(x`)>0, {'x,_r 
<F+>
<p> 
  {' l-se: "para todo ou qualquer 
 que seja". 

Exerccios

<R+>
84. Suponha que na reta *r* da figura a seguir estejam marcados nmeros reais. Vamos percorrer *r* da esquerda para a direita. 
<R->

<F->
  :::::::o:::::::::::::o:::::::o
         2             5       r
<F+>

<R+>
<F->
  Que sinal deve ser usado para completar a sentena: > (maior) ou < (menor)? 
a) Antes de chegar ao ponto de abscissa 2, passamos pelos pontos *x*, sendo x ...2. 
b) Depois do 2 e antes do 5 esto os pontos de abscissas *x*, sendo 2... x ...5. 
c) Depois do 5 esto os pontos de abscissa *x*, sendo x ...5. 
<F+>
<R->
<p>
<R+>
_`[{os grficos dos exerccios 85 a 89 no foram representados, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
<F->
85. Examinando o grfico da funo f`(x`), do 1 grau, classifi-
  que cada afirmativa em verdadeira (V) ou falsa (F): 
a) Se x >2, ento f`(x`)<0.  
b) Se x <0, ento f`(x`)<0. 
c) Se x=0, ento f`(x`)=1.  
d) Se x >0, ento f`(x`)<0.  
e) Se x <0, ento f`(x`)>1.  
f) Se x <2, ento f`(x`)>0.  

86. Examinando o grfico de 
  f`(x`), funo do 1 grau, classifique cada afirmativa em certa (C) ou errada (E): 
a) Se f`(x`)>0, ento x >2.  
b) f`(x`)>0 somente se x >2.  
c) f`(x`)<0 somente se x <0.  
d) Se f`(x`)=0, ento x=-1.  
e) Se f`(x`)=-1, ento x=0. 
f) f`(x`)=0 somente se x=2.  
<296>
<p>
87. Examinando o grfico da funo quadrtica f`(x`), classifique em certa ou errada cada afirmativa: 
a) Se x >0, ento f`(x`)>0. 
b) Se x >1, ento f`(x`)<0.  
c) Temos f`(x`)>=0 se x <-1 ou 
  x >1.  
d) Se -1< x <0, ento 
  f`(x`)>0.  
e) Temos f`(x`)>=0 se 
  -1<=x <=1.  
f) Para todo *x* tem-se 
  f`(x`)<=1.  

88. Examinando o grfico da funo quadrtica f`(x`), classifique em verdadeira ou falsa cada afirmativa: 
a) f`(x`)=0 somente se x=0.  
b) f`(x`)>0 somente se x >2.  
c) f`(x`)<0 somente se 0< x <2.  
d) Se x <0, ento f`(x`)>0.  
<p>
e) Para todo *x* tem-se 
  f`(x`)>=0.  
f) Para todo *x* tem-se 
  f`(x`)>=-1.  

89. D os sinais das funes quadrticas dos grficos. 

90. Analise os sinais das seguintes funes: 
a) f`(x`)=x2-2x-48
b) y=-2x2+20x-50  
c) y=4x2+4x+7 
d) f`(x`)=-2x2+3x-5
e) f`(x`)=x2+4x+4

91. Analise os sinais da funo *f* cujo grfico  o da figura _`[no representada_`]. 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->
<297>
<p>
Desafios
 
Sabendo ler um grfico 

  Na figura, temos os grficos de duas funes, *f* e *g*. 

<R+>
_`[{para os desafios a seguir, pea orientao ao professor_`]
<R->

  Para cada *x*, podemos determinar os sinais de f`(x`), de g`(x`) e do produto h`(x`)=f`(x`).g`(x`). 
  Para que valores de *x* o produto h`(x`)  positivo? 

Descobrindo a frmula 

  Qual  a parbola que corta os eixos coordenados nos pontos `(1,#j`), `(6,#j`) e `(0,#ab`)?

Duas torneiras e um tanque 

  Duas torneiras podem ser abertas para encher um tanque com gua. Se abrirmos apenas a primeira torneira, o tanque estar cheio aps 10 minutos. A segunda torneira, sozinha, enche o tanque em 15 minutos. 
<R+>
<F->
a) Qual das torneiras despeja mais gua por minuto? 
b) Abrindo ambas as torneiras simultaneamente, o tanque estar cheio em menos de 10 minutos. Certo ou errado? 
c) Abrindo ambas as torneiras simultaneamente, o tanque estar cheio em exatamente 5 minutos. Certo ou errado?  
d) Que frao do tanque a primeira torneira enche em um minuto? 
e) Que frao do tanque as duas torneiras juntas enchem em um minuto? 
f) Em quanto tempo, exatamente, as duas torneiras juntas enchem o tanque? 
<F+>
<R->
<298>

Matemtica em notcia

<R+>
<F->
_`[{grfico de linhas "Retrato do Brasil -- 2007", adaptado na 
<p>
  forma de tabela em duas colunas, contedo a seguir_`]
1 Coluna: Ano;
2 Coluna: Crianas e adolescentes de 5 a 17 anos ocupados em relao ao total de pessoas nessa faixa etria. (em porcentagem).
<F+>
<R->

 !::::::::::::::
 l 1   _ 2   _
 r:::::::w:::::::w
 l 1992 _ 19,6 _
 l 1993 _ 19,0 _
 l 1995 _ 18,7 _
 l 1998 _ 15,5 _
 l 1999 _ 15,1 _
 l 2001 _ 12,7 _
 l 2002 _ 12,6 _
 l 2003 _ 11,7 _
 l 2004 _ 11,4 _
 l 2005 _ 11,8 _
 l 2006 _ 11,1 _
 l 2007 _ 10,6 _
 h:::::::j:::::::j

  '''no ano passado, dos 44,7 milhes de brasileiros de 5 a 17 anos, 4,8 milhes trabalhavam ante 5,1 milhes em 2006. A proporo caiu de 11,5% para 10,8%. 
  Obs.: Nos anos de 1994 e 2000 no houve Pnad. Em 1996 e 
1997 no foi feita pesquisa sobre trabalho infantil. Nesta srie no esto includas as reas rurais da Regio Norte, que passaram a ser pesquisadas na Pnad a partir de 2004.

Fonte: *IBGE*

<R+>
<F->
_`[{grfico de linhas "em rede", mostrando a distribuio percentual de domiclios com acesso a computador e internet, adaptado na forma de tabela em trs colunas, contedo a seguir_`]
1 Coluna: Ano;
2 Coluna: Microcomputador (em porcentagem);
3 Coluna: Acesso  internet (em porcentagem).
<F+>
<R->
<p>
 !:::::::::::::::::::::
 l 1   _ 2   _ 3   _
 r:::::::w:::::::w:::::::w
 l 2001 _ 12,6 _ 8,6  _
 l 2002 _ 14,2 _ 10,3 _
 l 2003 _ 15,3 _ 11,5 _
 l 2004 _ 16,6 _ 12,4 _
 l 2005 _ 18,8 _ 13,9 _
 l 2006 _ 22,4 _ 17,1 _
 l 2007 _ 27,0 _ 20,4 _
 h:::::::j:::::::j:::::::j

  Obs.: A pesquisa desses servios s foi iniciada no Pnad em 2001.

<R+>
Fonte: Pnad (Pesquisa 
  Nacional por Amostra de 
  Domiclios).
<R->
 
<R+>
<F->
(*O Estado de S. Paulo*, 19/9/2008.) 

a) O grfico da porcentagem de brasileiros de 5 a 17 anos ocupados em relao ao total de pessoas nessa faixa etria  de uma funo decrescente?    
b) Os grficos dos porcentuais de domiclios com acesso a computador e internet so de funes crescentes? 
c) Em 2006 quantos eram os trabalhadores de 5 a 17 anos? E qual era o total de brasileiros nessa faixa etria? 
d) Em 2001, quanto por cento dos domiclios com computador tinham internet? 
e) Faa o clculo do item anterior para os demais anos e represente os resultados num grfico. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<299>
<p>
Captulo 26- Inequaes

Revendo inequaes do 1 grau 

  No 8 ano voc aprendeu a resolver algebricamente as inequaes do 1 grau: 
 ax+b >0, ax+b <0, ax+b <=0,  
  ax+b >=0 
  Em que *a* e *b* so nmeros reais conhecidos, a=0, e *x*  a incgnita. 
  Vamos recordar como elas so resolvidas, observando os exemplos a seguir. 
 2x+6>0, em que a=2 e b=6 
 2x+6>0 :> 2x >-6 :>  
  x >-6~2 :> x >-3
  As solues so todos os nmeros reais maiores que -3. Elas formam o conjunto soluo (ou conjunto verdade) da inequao, que indicamos assim: 
 V=~lx,_r,x >-3_,
<R+>
 3x-7<0, em que a=3 e b=-7 
 3x-7<0 :> 3x <7 :> x <7~3
 V=~lx,_r,x <7~3_,
 -x+10=0, em que a=-1 e b=10 
<p>
 -x+10=0 :> -x =-10x`(-1`) 
  :> x o=10 
<R->
  Quando multiplicamos por nmero negativo, os dois membros mudam de sinal e, para a desigualdade continuar verdadeira, precisamos invert-la: < (menor) vira > (maior), e > (maior) vira < (menor). 
 V=~lx,_r,x o=10_,

Resoluo pelo grfico 

  Podemos visualizar geometricamente os resultados, recorrendo aos grficos _`[no representados_`] das funes do 1 grau. Veja novamente os trs exemplos anteriores: 
 Para a inequao: 2x+6>0 
  Queremos saber para que valores de *x* a funo y=2x+6  positiva. 
<300>
  Esboamos o grfico (que  uma reta): 
 zero: 2x+6=0 :> x=-3 
<R+>
<p>
 sinal de *a*: a=2 :> a >0 
  :> funo crescente 
<R->
  A funo  positiva para 
 x >-3. 
  No esboo do grfico  importante marcar o zero da funo. Da, sabendo se  crescente ou decrescente, descobrimos seus sinais para todos os valores de *x*. 
 Para 3x-7<0. 
  Funo: y=3x-7. 
<R+>
<F->
zero: 3x-7=0 :> x=7~3 
sinal de *a*: a=3>0 :> funo 
  crescente 
<F+>
<R->
  A funo  negativa para 
 x <7~3. 
 Para -x+10<=0. 
  Funo: y=-x+10. 
<F->
<R+>
zero: -x+10=0 :> x=10 
sinal de *a*: a=-1<0 :> funo 
  decrescente 
<R->
<F+>
  A funo  negativa para 
 x >10. 
  Temos -x+10<=0 para x >=10. 
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
92. Resolva algebricamente as inequaes do 1 grau: 
a) 4x+40>0 
b) 12-6x >=0 
c) 2x+3<13 
d) x+1<2x  
e) 1+2x <=1-2x  
f) 2`(x-1`)>=1-3`(1-x`)  
g) 1-2x <2-x  
h) 3`(2-x`)+1>=2`(3+x`)-4  
<F+>
<R->

<R+>
_`[{para os exerccios 93 a 95, pea orientao ao professor_`]
<R->

<R+>
<F->
93. Atenda ao que se pede em cada item: 
a) Esboce o grfico da funo y=2x-5. 
b) Quais so as solues da inequao 2x-5>0?  

94. Realize as atividades a seguir: 
a) Esboce o grfico da funo y=-3x+5. 
b) Resolva, pelo grfico, a inequao -3x+5<=0.  

95. Resolva cada inequao pelos mtodos algbrico e grfico. 
a) 5x-10>=0 
b) 8x+2<=0
c) 7x-1>=0  
d) 3-9x <0 
<301>

96. Resolva as inequaes: 
a) `(x-1`)`(2x+1`)<2x`(x-3`)  
b) x`(x+1`)-2`(x-1`)>`(x-1`)2  
c) `(x+2`)2+`(x-2`)2<2`(x+2`)
  `(x-1`) 
d) ?x+1*~2+?x+2*~3>0 
e) ?t2-1*~2-
  -t~4<=t~2`(t-1`)
<R->
<F+>
<301>

A viagem dos formandos 

  A Teen-tour tambm vai promover a viagem de formatura dos 3s anos do ensino mdio. Para isso vai receber de cada um dos *x* alunos que viajarem a quantia de `(234-0,6x`) reais. Mas h uma condio: ela s fecha contrato com a escola com a garantia de arrecadar pelo menos R$19.440,00. 
  Quantos alunos precisam participar da viagem? Voc vai responder a essa pergunta no exerccio 97. 

Inequaes do 2 grau 

  A receita arrecadada se *x* alunos viajarem ser, em reais: 
 R`(x`)=x.`(234-0,6x`)=234x-
  -0,6x2 
   necessrio que R`(x`) seja 
 pelo menos R$19.440,00, 
 isto , precisamos ter 
 R`(x`)>=R$19.440,00. 
  Logo: 
 234x-0,6x2>=19.440 
 -0,6x2+234x-19.440>=0 
  Dessa forma, no problema anterior, estamos diante de uma inequao do 2 grau. 
  As inequaes do 2 grau so: 

  ax2+bx+c >0, ax2+bx+c <0, 
 ax2+bx+c >=0, ax2+bx+c <=0. 
<p>
  Em que *a*, *b* e *c* so nmeros reais conhecidos, a=0, e *x*  a incgnita. 
  Vamos resolver inequaes do 2 grau analisando os sinais das funes que aparecem no primeiro membro (o segundo membro deve ser 0). 
  Observe os exemplos a seguir. 
  Vamos resolver a inequao x2-4x+3>0. 
  Devemos descobrir os valores de *x* para os quais f`(x`)=x2-4x+3  positiva. 
  Analisemos os sinais de f`(x`)=
 =x2-4x+3. 
  Temos: a=1, b=-4, c=3. 
<R+>
 zeros: x2-4x+3=0 :> `(x=3 ou x=1`). 
 concavidade: a=1 :> a >0 :> para cima. 
<302>
 esboo do grfico _`[no representado_`]. 
<R->
  A funo *f*  positiva para 
 x <1 ou x <3. 
  Logo, as solues da inequao so os nmeros menores que 1 ou maiores que 3. 
 V=~lx,_r,x <1 ou x >3_, 
  Vamos resolver a inequao 
 -2x2-3x >0. 
  Analisamos f`(x`)=-2x2-3x. 
<R+>
<F->
 zeros: -2x2-3x=0 :> -x`(2x+3`)=0 :> `(-x=0 ou 2x+3=0`) :> x=0 ou x=-3~2. 
 concavidade: a=-2 :> a <0 :> para baixo. 
 esboo do grfico _`[no representado_`]. 
-2x2-3x >0 :> f`(x`)>0 :> -3~2< x <0
V=~lx,_r,-3~2< x <0_,
<F+>
<R->

Multiplicando por `(-1`) 

  Vamos resolver a segunda inequao multiplicando-a por `(-1`). Lembramos que, nesse caso, a desigualdade ter o sinal invertido. 
 -2x2-3x >0 :> 2x2+3x <0 
  Devemos, ento, estudar a funo f`(x`)=2x2+3x. 
<R+>
 zeros: 2x2+3x=0 :> x`(2x+3`)=0 :> `(x=0 ou 2x+3=0`) :> x=0 ou x=-3~2. 
<p>
 concavidade: a=2 :> a >0 :> para cima. 
<303>
 esboo do grfico _`[no representado_`]. 
<R->
  Como queremos 2x2+3x <0, logo f`(x`)<0. Portanto: 
 V=~lx,_r,-3~2< x <0_,
  Observe que ao multiplicar a inequao por `(-1`) precisamos inverter o sinal de desigualdade. Veja que a parbola tambm mudou e a resposta acaba sendo a mesma. 

Exerccios

`(^d=2342-40,619.440=
  =8.100`)

<R+>
<F->
97. Releia o problema proposto "A viagem dos formandos". Quantos alunos precisam participar da viagem para que a arrecadao da empresa de turismo seja no mnimo de R$19.440,00? Para responder, basta resolver a inequao -0,6x2+234x-
  -19.440>=0.  
<p>
98. O lucro mensal de uma empresa  dado por L=-x2+30x-5, em que *x*  a quantidade mensal vendida. Entre que valores deve variar *x* para que o lucro mensal seja no mnimo igual a 195? 
99. O servio de meteorologia constatou que, em um certo dia, a temperatura f`(x`) em graus Celsius, s *x* horas do dia, variou de acordo com a frmula f`(x`)=-x2+26x-130. Em que perodo do dia a temperatura ficou acima de 30C? 

100. Resolva as inequaes: 
a) x2-5x+6>0 
b) x2-9<0 
c) 4x-x2<0 
<304>

101. Leia o exemplo resolvido. 
`(x+4`)x <=4`(2x-1`) 
x2+4x <=8x-4 
x2+4x-8x+4<=0 
x2-4x+4<=0 
`(x-2`)2<=0 
<p>
`(x-2)2<0  impossvel porque nenhum nmero real elevado ao quadrado d resultado negativo. 
`(x-2`)2=0 <:> x-2=0 <:> x=2 
Resposta: x=2 
  Agora resolva cada inequao a seguir. A resoluo  s algbrica, mas voc pode usar a parbola se quiser visualizar as solues. 
a) 9x2+6x+1<=0 
b) x2+25<10x 
c) x2-x+1<2x2+x+2
d) `(x-4`)2>=8`(x-6`)  

102. Leia o exemplo e resolva as inequaes: 
x2>3`(x-3`) 
x2>3x-9 
x2-3x+9>0
 ^d=`(-3`)2-4.1.9=9-36<0. 
 No existem zeros reais. 
 a=1>0. 
 A funo  positiva para todo *x*.
<p>
x2-3x+9>0 vale para todo *x*. 
V=_r 
a) x`(x+2`)>4`(x-2`) 
b) x`(5-x`)>=10  

103. A quantos centmetros do ponto A devemos marcar o ponto P de modo que tenhamos {a{p.{p{b >=16 cm2? 
<F+>
<R->

<F->
  A               P     B
  o:::::::::::::::o:::::o
  _::::::::::::::::::::::ol
            10 cm
<F+>

<R+>
104. ^c?{a{b*  dimetro da circunferncia e {a{b=20 cm. A quantos centmetros de A devemos marcar o ponto P de modo  
  que a rea do tringulo {a{b{c, de altura ^c?{p{c*, seja no mximo 60 cm2? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
<F->
105. Cada CD lanado recentemente  vendido a R$30,00. O custo de produo de *x* CDs  de `(8x+6.000`) reais. 
a) Escreva a expresso do lucro L obtido na venda de *x* CDs. 
b) Quais valores de *x* tornam L positivo?  
<305>

106. O custo de fabricao de *x* unidades de um vaso  de `(150x-0,1x2`) reais, para uma produo mxima de 500 unidades de cada vez. Cada vaso  vendido a R$135,00. A fbrica s produz sob encomenda. 
a) Quantas unidades precisa ter cada encomenda para que a fbrica no tenha prejuzo? 
b) E para um lucro de no mnimo R$2.500,00 em cada encomenda?  
c) E se desejar um lucro de no mnimo R$25,00 por unidade?  

107. A receita mensal, em reais, de uma fbrica  R=20.000p-
<p>
  -2.000p2, em que *p*  o preo de venda de cada unidade produzida `(0<=p <=10`). 
a) Que preo deve ser cobrado por unidade para gerar uma receita de R$50.000,00? 
b) Para que valores de *p* a 
  receita  inferior a R$37.500,00? 

108. Z Lus atira uma pedra para o alto. Aps *x* segundos do lanamento, a altura da pedra, em metros,  *y*, dada por y=40x-5x2. 
a) Qual  a altura da pedra 2 segundos aps o lanamento?  
b) Em que instantes a altura da pedra supera 75 m?  

109. Slvia e Raul resolveram quatro inequaes cada um e deram as respostas indicadas. 
Slvia
o 4x2>=1, x <=-1~2 ou 
  x >=1~2
o x`(x+4`)<=x, -3<=x <=0
<p>
o x`(x+1`)<-2`(x+1`), 
  -2<=x <=-1
o 1+x <=x+x2, x <=-1 ou 
  x >=1
Raul
o 6x <=x2, x <= ou x >=6
o 100+3x >=x`(x+3`), 
  -10<=x >=10
o 2>=x`(x+1`), -2<=x <=1
o x2<=x3, 0<=x <=3
  Quantas inequaes Slvia acertou? E Raul?  

110. Quero formar uma equao do 2 grau com o coeficiente a=1 e os coeficientes *b* e *c* iguais. Alm disso, ela precisa ter duas razes reais diferentes. Que nmero devo colocar nos lugares dos coeficientes *b* e *c*?  

111. Na equao do 2 grau x2+2x-m=0, temos a=1, b=2, c=-m. 
a) Calcule o discriminante. 
b) Para que valores de *m* a equao dada tem razes reais?  
<306>
<p>
112. Num quadrado {a{b{c{d de lado 12 cm marcamos um ponto P, em ~:,?{a{b*, a *x* cm de A, e traamos ^c?{p{d* de medida *y* cm. A cada *x*, 
  0<=x <=12, corresponde um *y*. 
<F+>
<R->

<F->
   D          C
   cccccccccccc
   l           _
   l           _
   l           _
   l    y      _
   l           _
   l           _
   l           _
  o::::::o::::j 
   A  x P    B
   <::::::::::::>
       12 cm
<F+>

<R+>
<F->
a) Determine a frmula dessa funo. 
b) Para que valores de *x* temos 13<=y <=15? 
<F+>
<R->
<p>
Desafios

A trilha 

  Uma rea de pastagem retangular mede 120 m por 250 m. 
  Em um dos lados,  delimitada por um rio, conforme indica a figura.  

<F->
D      250 m      C
ccccccccccccccccccccy
l                ',a_
l             ',a   _
l          ',a      _ 120 m
l       ',a         _
l    ',a            _
h::::o::::::::::::::j 
A x P             B
<F+>

  Uma trilha em linha reta vai do vrtice D at um ponto P, na margem do rio, e depois, tambm em linha reta, vai de P at o vrtice C. A trilha toda mede 350 m. O ponto P fica mais prximo de A do que de B. 
  A quantos metros de A est P? 
<p>
At o infinito 

  O quadrado {a{b{c{d tem lado 1. 
  Prolongamos o lado ^c?{b{c* at um ponto P  distncia *x* de C, conforme a figura. 
  Para que valores de *x* a rea da parte do tringulo {a{b{p que fica fora do quadrado supera a que fica dentro? 

<F->
              P
              #
             _x
             _
     D      _
     fccccmcccC
     l       _
   1l       _1
     l       _
     l       _
     --------#
     A  1  B
<F+>
<307>
<p>
<R+>
<F->
Teste seu conhecimento

1. (FGV-SP) Seja a funo f`(x`)=x2. O valor de f`(m+n`)-
  -f`(m-n`) : 
a) 2m2+2n2 
b) 2n2 
c) 4mn 
d) 2m2 

  Para responder os testes 2 e 3, observe atentamente estes 
  grficos a respeito das matrculas no ensino superior do 
  Brasil. 

_`[{grficos adaptados_`]
Matrcula na educao a distncia.
2000 -- 1.682
2002 -- 40.714
2004 -- 59.611
2006 -- 207.206
Percentual de matrculas a distncia em relao ao total.
2000 -- 0,1
<p>
2002 -- 1,2
2004 -- 1,4
2006 -- 4,4

(*Folha de S. Paulo*, 11/6/2008.) 

2. Identifique a afirmao verdadeira: 
a) Ambos so grficos de funes crescentes. 
b) Apenas o grfico das matrculas  de funo crescente. 
c) Apenas o grfico do porcentual de matrculas  de funo crescente. 
d) Nenhum deles  grfico de funo crescente. 

3. Com base nos grficos, podemos concluir que em 2006 o nmero total de matrculas no ensino superior do Brasil foi aproximadamente de: 
a) 4,0 milhes. 
b) 4,3 milhes. 
<p>
c) 4,7 milhes. 
d) 5,0 milhes. 

4. Na figura a seguir esto representados os valores, em bilhes de dlares, da exportao e da importao de bens pelo Brasil, no perodo de outubro de 2006 a outubro de 2007. 

_`[{grfico de linhas adaptado na forma de tabela em trs colunas, contedo a seguir_`]
1 Coluna: Ms/ano;
2 Coluna: Exportao (em bilhes de dlares);
3 Coluna: Importao (em bilhes de dlares).
out/2006; 12.500; 8.000.
nov/2006; 12.000; 8.000.
dez/2006; 12.000; 7.000.
jan/2007; 11.000; 8.000.
fev/2007; 10.000; 7.000.
mar/2007; 13.000; 9.500.
abril/2007; 12.500; 8.000.
maio/2007; 14.000; 10.000.
<p>
jun/2007; 13.000; 9.000.
jul/2007; 14.000; 11.000.
ag/2007; 15.000; 11.500.
set/2007; 14.000; 11.000.
out/2007; 16.000; 12.500.

(*O Estado de S. Paulo*, 2/11/2007.) 

  O saldo da balana comercial  a diferena entre o valor arrecadado na exportao e o valor gasto com a importao. 
  No perodo analisado, em que ms ocorreu o maior saldo? 
a) dezembro de 2006 
b) abril de 2007 
c) agosto de 2007 
d) outubro de 2007 

_`[{para os testes 5 e 6, pea orientao ao professor_`]

5. Em qual dos grficos _`[no representados_`] est representada uma funo y=f`(x`)? 
<308>
<p>
6. O grfico _`[no representado_`]  de uma funo do 1 grau, f`(x`)=ax+b. Podemos afirmar que: 
a) a >0 e b >0 
b) a >0 e b <0 
c) a <0 e b >0 
d) a <0 e b <0 
<F+>
<R->

<R+>
<F->
7. A funo f`(x`)=-x~10-10 tem sinal positivo para: 
a) nenhum valor de *x* 
b) todo x <0
c) todo *x*
d) todo x <-100 

8. O grfico da funo y=5x+10 forma com os eixos coordenados um tringulo de rea: 
a) 10 
b) 20 
c) 25 
d) 50 

9. (FGV-SP) Uma funo polinomial *f* do 1 grau  tal 
<p>
  que f`(3`)=5 e f`(4`)=8. Portanto, o valor de f`(10`) : 
a) 22 
b) 24 
c) 26 
d) 28 

10. Qual das frmulas a seguir define uma funo y=f`(x`) em que *y*  inversamente proporcional a *x*? 
a) y=x-2 
b) y=2-x 
c) y=2~x 
d) y=x~2 

11. (Vunesp-SP) Seja a funo: y=x2-2x-3. O vrtice V e o conjunto dos valores de *y* dessa funo so dados, respectivamente, por: 
a) V=`(1,#d`), ~ly,_r,y >=4_, 
b) V=`(1,-#d`), 
  ~ly,_r,y >=-4_, 
c) V=`(1,#d`), ~ly,_r,y <=4_, 
d) V=`(1,-#d`), 
  ~ly,_r,y <=-4_, 
<p>
12. (Faap-SP) Com relao ao grfico da funo f`(x`)=
  =2`(x-1`)2-4 so feitas as seguintes afirmaes: 
I-  uma parbola com concavidade voltada para cima; 
II-  uma parbola cujo vrtice  o ponto `(-2,#d`); 
III- o ponto de interseo com o eixo *y*  `(0,-#b`). 
  Nessas condies: 
a) somente a afirmao I  verdadeira. 
b) somente a afirmao III  verdadeira. 
c) as afirmaes I, II e III so verdadeiras. 
d) somente as afirmaes I e III so verdadeiras. 

13. (PUC-PR) A figura 
  _`[no representada_`] mostra o 
  grfico de um trinmio do 2 
  grau da forma f`(x`)=ax2+bc+c, onde *a*, *b* e *c* so constantes. 
<p>
  Esse trinmio tem: 
a) a <0, b >0, c >0 
b) a >0, b <0, c >0 
c) a >0, b <0, c <0 
d) a >0, b >0, c <0 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

14. O grfico da funo f`(x`)=
  =ax2-4x-16 passa pelo ponto `(4,#j`). O outro ponto em que ele corta o eixo das abscissas : 
a) `(-2,#j`) 
b) `(-1,#j`) 
c) `(1,#j`) 
d) `(3,#j`) 

15. Se f`(x`)=-2x2-x+1, ento, temos f`(x`)>0 para: 
a) -1< x <1~2 
b) -1~2< x <1
c) x <-1 ou x >1~2 
d) x <-1~2 ou x >1
<p>
16. (Cesgranrio-RJ) A menor soluo inteira de x2-2x-
  -35<0 : 
a) -5 
b) -4 
c) -3 
d) -2 
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Stima Parte
